L'arbre de Feigenbaum
Il est temps d'introduire l'arbre de Feigenbaum. Feigenbaum est un scientifique qui a découvert des phénomènes intéressant concernant cette famille de fonction et d'autres apparentées (remarque amusante : en allemand, Feigenbaum signifie figuier).
Le dessin ci-dessus est à interpréter comme un empilement de tranches horizontales. Chaque tranche représente l'espace dynamique, c'est à dire le lieu où se déroule la dynamique, autrement dit l'intervalle des nombres de 0 à 1, que l'on note [0,1]. Chaque tranche correspond à une certaine valeur du paramètre a, qui sur ce dessin varie de 0 à 4. On a représenté en rouge les tranches correspondant à a=0, a=1, a=2, a=3, et a=4 (cette dernière est cachée par l'arbre). L'intersection de la tranche avec le dessin en noir, c'est à dire l'ensemble des points noirs situés sur la tranche, représente l'attracteur.
Par exemple, le dessin ci-dessous montre une coupe de l'arbre de Feigenbaum à la hauteur a = 3.5.
On y reconnait l'attracteur tel qu'on l'avait vu.
Qu'observe-t-on ?
- Pour
acompris entre 0 et 1 (inclus), l'attracteur est réduit au seul point 0. - Pour
acompris entre 1 et 3, l'attracteur est réduit à un seul point, qui n'est plus 0, et qui varie continûment avec le paramètre (vous pouvez le vérifier avec l'applet). - Ensuite, il se scinde en deux.
- Un peu avant 3.5, il se scinde à nouveau
- On observe une nouvelle scission, et on en soupçonne peut-être d'autres.
- Puis les choses semblent fusionner progressivement en un intervalle
- On remarque également une bandes blanche, dans lequelles l'attracteur semble constitué de points. Un agrandissement serait bien utile.